OSZILLATOREN [2] ALIASING

Hier soll es ausschließlich um Arbeiten zu neuen und alten Ensembles gehen.

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OSZILLATOREN [2] ALIASING

Beitragvon Rampensau » Do 23. Feb 2012, 04:26

Anschauliche Betrachtung des Nyquist-Shannon-Abtast-Theorems:

Was man während der Betrachtung des Signals im Zeitbereich nie ahnen würde, sieht man sehr gut an obigen Beispielen. Bereits ein so weiches Signal verursacht ohne einen zweckmäßig genauen Grad der Approximation, ungewollte Nebengeräusche bei höheren Frequenzen. Das sind eben genau die Frequenzen oberhalb der halben Samplingfrequenz, bei denen die Schwingungen in den Bereich von 0 Hz bis SR/2 Hz gespiegelt werden.
Warum diese Bestandteile aliasieren, leuchtet auch direkt ein, wenn man einsieht, dass jeder der Ausschläge im Spektralbereich (s.o. FFT-Analyse) eine reine sinusförmige Schwingung einer bestimmten Frequenz und Amplitude darstellt.
Um nun die Amplitude einer solchen Schwingung sinnvoll rekonstruieren zu können, muss die Schwingung der höchsten darzustellenden Frequenz gleichförmig mit der doppelten Frequenz abgetastet werden. Bestandteile, die über dieser Frequenz liegen, verursachen Alias-Bestandteile dessen Frequenz die Differenz ihrer ursprünglichen Frequenz und der halben Samplerate ist, und deren Amplituden mit dem ursprünglichen Abfall gegen den Pegel 0 konvergieren.
Liegt diese Differenz unter 0 Hz so wird sich der Betrag wieder in den positiven Bereich spiegeln. Der erlaubte Bereich setzt sich sozusagen auf das gesamte Spektrum periodisch, also bis ins Unendliche, fort.
Alias.PNG
Alias.PNG (40.44 KiB) 6325-mal betrachtet


Ist auf jeden Fall interessant zu sehen, dass man dort solche Gesetzmäßigkeiten findet..
Formel.png
Formel.png (7.9 KiB) 6300-mal betrachtet


Wobei % für den Modulooperator steht.

Theoretisch gehen hierbei also keine Bestandteile des Signals verloren.

Eine nette Anschauung erhält man auch im Zeitbereich:
alias_time1.GIF
alias_time1.GIF (35.1 KiB) 6192-mal betrachtet

Das eingehende Signal (blau) mit der Frequenz f_ein wird abgetastet mit der Frequenz f_SR.
Das abgetastete Signal (rot gestrichelt) erhält die Frequenz f_aus.
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OSZILLATOREN [2] ALIASING

Beitragvon herw » Fr 24. Feb 2012, 06:16

Rampensau hat geschrieben:[...]
Der zu wählende Ansatz und der damit verbundene Rechenaufwand muss dann auch dem Nutzen angemessen sein.

Die hier diskutierten Schwinger liegen nun in ihrer simpelsten Form vor und erzeugen einfach nur statische bandbeschränkte aliasbehaftete Wellenformen.
Einen universellen Algorithmus zur Entstörung habe ich bisher nicht gefunden. Ich werde auch noch nicht allzu viel dazu schreiben können, also beschränke ich es im Folgenden auf wenige Beispiele.
bin ein aufmerksamer Leser und bin gespannt :) ::kaffee::

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OSZILLATOREN [2] ALIASING

Beitragvon Rampensau » Fr 24. Feb 2012, 21:49

Auf der Suche nach gutem Lesematerial zu dem Thema, bin ich sozusagen auf eine sprudelnde Quelle gestoßen.
http://www.computermusicjournal.org/

Die MIT Press bringt wohl vierteljährlich dieses "computer music journal" heraus. Hier gibt es eine Unmenge an Informationen und Algorithmen zur digitalen Klangsynthese. Leider habe ich noch nicht herausgefunden, wie man besagtes Journal abonniert. Auf die meisten älteren Beiträge aus dem Archiv habe ich keinen Zugriff.
Ein paar der Artikel sind sogar bereits hier und im englischen Forum im Umlauf. Bsp. Blit-Generation nach Stilson and Smith.
Ich denke, da ich diese Adresse ohne mich ins System eingehackt zu haben, gefunden habe, kann ich sie hier erwähnen.
[https://ccrma.stanford.edu/~stilti/papers/]

Und der DPW-Generator
http://www.music.mcgill.ca/~ich/researc ... cr1071.pdf

In ihren Grundzügen will ich ein paar wenige Techniken ansprechen...
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Re: OSZILLATOREN

Beitragvon Rampensau » Fr 24. Feb 2012, 23:59

Differentiated Parabolic Waveform

Eine sehr schnelle Methode zur Unterdrückung ungewünschter Anteile ist der DPW-Algorithmus, welcher Aliasing bei Sägezahn- und Rechteckoszillatoren dämpft.
Hier wird wie der Name es ahnen lässt, eine Parabel erzeugt, und dann mit einem Differentiator 1.Ordnung annähernd durch die Differenzengleichung: y[n] = x[n] - x[n - 1] differenziert.
Die entstehende Wellenform ist nun sägezahnähnlich, aber klingt schneller ab, als der triviale Sägezahn. Aus dem Grund enthält das Ausgangssignal auch nicht mehr so hohe Störamplituden.
Das Ausgangssignal ist dann sehr klein und muss noch in Abhängigkeit der Tonhöhe skaliert werden.
Das war dann auch das Wesentliche des DPW-Algorithmus.

Als Ausgangspunkt nehmen wir den reinen Phasenoszillator:
Phase.PNG
Phase.PNG (5.45 KiB) 6493-mal betrachtet

?...Der Bitshifter rundet einfach nur.. :roll:

Sein Spektrum ist, wie ziemlich zu Anfang aufgezeigt, stark aliasbehaftet.
Spektrum.GIF
Spektrum.GIF (35.74 KiB) 6219-mal betrachtet


Das Quadrieren (so erhalten wir das Parabelstück) spült das Spektrum regelrecht frei, da die Oberwellen schneller abfallen, als beim Sägezahn.
Parabel_spektrum.GIF
Parabel_spektrum.GIF (30.29 KiB) 6218-mal betrachtet
Zuletzt geändert von Rampensau am Sa 25. Feb 2012, 01:16, insgesamt 2-mal geändert.
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Differentiator

Beitragvon Rampensau » Sa 25. Feb 2012, 00:24

Das Differenzierglied ist quasi ein FIR-Filter und dämpft die Amplituden nochmals ein wenig. Die Differenzengleichung y[n] = x[n] - x[n - 1] findet in Reaktor folgende Entsprechung:
Differentiator.jpg
Differentiator.jpg (57.54 KiB) 6463-mal betrachtet

Durch Z-Transformation erhält man folgende Korrespondenz zum Frequenzbereich und daraus die Übertragungsfunktion:
Differentiator_H.PNG
Differentiator_H.PNG (5.47 KiB) 6490-mal betrachtet

Das aber nur nebenbei. Zum Verständnis und zur Anwendung des Algorithmus ist das zweitrangig..

Die Z-Transformation ist eine von mehreren Integraltransformationen. Sie verallgemeinert die Fouriertransformation auf den diskreten Fall. Also Signale, welche aus diskreten Zahlenfolgen bestehen und kein Kontinuum bilden. Also abgetastete Signale.
Durch Integraltransformation einer Zeitfunktion oder dem Verhalten eines Systems erhält man das korresponierende Verhalten im Frequenzbereich. Anders als bei der Fourier-Analyse, bei der die Gewichtung aller im Signal vorkommenden sinusförmigen Anteile gesucht wird und das erhaltene Spektrum diskret ist, erhält man durch Transformation ein Kontinuum, das die Spektraldichte des Signals darstellt.

Aber das auch nur nebenbei.. :D
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Skalierung

Beitragvon Rampensau » Sa 25. Feb 2012, 00:57

Mit dem Skalierungsfaktor c = f_SR / (4*f) erhält man wieder einen Verlauf von ca. -1 bis 1.
fertig.PNG
fertig.PNG (6.26 KiB) 6488-mal betrachtet


An der Spektralverteilung sieht man, dass der Algorithmus nicht der Beste ist. Jedoch ist er schnell und reduziert deutlich das Aliasing.
Spektralverteilung.PNG
Spektralverteilung.PNG (67.84 KiB) 6485-mal betrachtet
Zuletzt geändert von Rampensau am Sa 25. Feb 2012, 01:26, insgesamt 1-mal geändert.
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DPW für den Pulsgenerator

Beitragvon Rampensau » Sa 25. Feb 2012, 01:24

Das Ganze lässt sich nun auch auf die Rechteckwelle übertragen. Wie oben gesehen, ist das Rechteck ja nur eine Überlagerung zweier Sägezähne.
Um nun einen Pulsoszillator aus der Säge zu machen, muss der Sägezahn umgekehrt, eine weitere DPW-Struktur dahinter geschaltet und die Sägen miteinander gemischt werden.
Eine Phasenverschiebung des umgekehrte Sägezahns bewirkt auch hier eine Veränderung der resultierenden Pulsweite.
Rechteck DPW.PNG
Rechteck DPW.PNG (7.17 KiB) 6483-mal betrachtet

Aber an der Phasenmodulation scheitert es auch schon bei diesem Algorithmus. Der [W]-Eingang habe ich nicht ohne Grund als Event-Eingang gewählt.
Wird die Pulsweite mit Audiorate aktualisiert führt das zu Knacksern.
Rechteck DPW Knacks.PNG
Rechteck DPW Knacks.PNG (37.66 KiB) 6484-mal betrachtet

Man müsste nun genauer untersuchen, warum genau der Algorithmus bei Modulationen schwächelt. Nun gut, bei schnelleren Modulation kann aus dem ursprünglichen Sägezahn keine Parabel mehr gewonnen werden.
Das ist wohl der große Nachteil des Algorithmus..
Wenn man aber alias-reduzierte Oszillatoren benötigt, die nicht viel verbrauchen sollen und auch keine Ansprüche an Modulationen stellen sollen, ist der DPW-Generator eine gute Wahl.
Neben den anderen Wellenformen, die nicht so arg aliasieren, klingen die DPW-Generatoren nun entsprechend.
Dateianhänge
Alias-reduzierte Oszis.zip
(7.83 KiB) 248-mal heruntergeladen
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Re: Differentiator

Beitragvon herw » Sa 25. Feb 2012, 07:12

Rampensau hat geschrieben:[...]
Durch Z-Transformation erhält man folgende Korrespondenz zum Frequenzbereich und daraus die Übertragungsfunktion:
Differentiator_H.PNG

Das aber nur nebenbei. Zum Verständnis und zur Anwendung des Algorithmus ist das zweitrangig..

Die Z-Transformation ist eine von mehreren Integraltransformationen. Sie verallgemeinert die Fouriertransformation auf den diskreten Fall. Also Signale, welche aus diskreten Zahlenfolgen bestehen und kein Kontinuum bilden.[...]
und genau an dieser Stelle steige ich bei theoretischen Erörterungen immer wieder zwangsweise aus. Obwohl ich Mathe studiert habe, ist mir die Begrifflichkeit eine Z- oder H-Funktion überhaupt nicht klar. Ich erahne nur, um was es geht, habe aber überhaupt keinen gedanklichen Zugriff auf das, was damit gemeint ist.
Der plötzliche Sprung an dieser Stelle fällt mir eigentlich immer in allen Schriften dazu auf. :(

Also was ich kapiert habe, ist, dass ich mit der Z-Funktion quasi ein Integral bilde (RC-Glied für ein Filter?), indem ich zu dem aktuellen Wert die gewünschte Veränderung (welche, woher bekomme ich die Formel dafür?) hinzu addiere und so nach und nach, quasi wie bei der Streifenmethode zur annähernden Berechnung von Integralen, ein „Integral” bekomme.
Ich habe das mal in EXCEL schrittweise nachvollzogen (ist aber schon einige Jahre her), aber dann doch wieder fallengelassen, da man den Werten ja nicht die musikalische Wirkung (Filterwirkung) ansieht - sehr schwer -

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Transformationen

Beitragvon Rampensau » So 26. Feb 2012, 03:42

Die Z-Transformation eigne ich mir gerade in Eigeninitiative an. In den Klausuren, die ich demnächst schreibe, Signalübertragung ist ein Fach davon, wird (leider) nichts von dem gefordert. Also hatte ich im Zuge des Studierens bisher auch keine Lesung zur Z-Transformation genossen. Weil ich mich auch vorbereitet für die Prüfungen fühlen möchte, habe ich wenig zur Zeit für Sachen außerhalb des Lernplans..

Nicht desto trotz können wir ja kurz mal der Z-Transformation zu mindest zuwinken... :wink:


Um das Wesen der Z-Transformation zu verstehen, ist es günstig, auch den "Ursprung" derselbigen zu kennen. Das werden wir uns alles aber später vielleicht (?) im Zuge der Oszillatoren anschauen, indem wir uns erstmal die Fourier-Analyse anschauen und die Fourierkoeffizienten herleiten und an einigen Beispielen nachvollziehen. Mit der Fourier-Analyse lassen sich die Amplituden und Phasenwinkel der einzelnen sinuförmigen Bestandteile, sowie der Gleichspannungsanteil eines hier periodischen Signals herausfinden. Das Spektrum ist diskret und positiv. Der Gleichspannungsanteil ist der Anteil mit Frequenz 0.
Schließlich gehen wir dann mit Reaktor :D auf den diskreten Fall über und berechnen die Koeffizienten einer Wellenform. Was auch ein Selbstexperiment war, da wir in der Lesung nur den stetigen Fall betrachtet haben.
Hier kommt man auch noch ganz gut im reellen Bereich zurecht. Die komplexwertige Anaylse resultiert in einem Spektrum über die gesamte reelle Achse, ist spiegelsymmetrisch zur y-Achse und halb so "hoch" wie die Einhüllende der reellwertigen Koeffizienten.

Den Grenzfall der komplexwertigen Fourier-Analyse bildet dann die Fourier-Transformation und gilt auch für nicht periodische Funktion. Das Resultat ist die spektrale Dichte des Signals oder der Funktion oder einer Börsenbilanz :mrgreen: . Die Frequenzfunktion oder Bildfunktion wird hier abhängig von der Symmetrie des Signals über die gesamte imaginäre und/ oder reelle Achse abgetragen. Die reell und imaginären Anteile werden auf den entsprechenden Achsen aufgetragen, wenn sie gerade sind. Wenn sie ungerade sind, ist das Spektrum der reellen Zeitfunktion imaginär und das Spektrum der imaginären Zeitfunktion reell.
Bei der Berechnung kann man sich also mit komplexen Zahlen rumschlagen, schwierige Integrale lösen oder auch die Eigenschaften der Transformationen ausnutzen. Formal geht das meist.

Bei der Laplace-Transformation kann die Frequenzfunktion komplexwertig sein und die Gewichtungsfunktion im Integral erstrecken sich über die gesamte komplexe Ebene. Die Frequenz der Gewichtungsfunktion bei der Fourier-Tranformation ist rein imaginär. In der Anwendung geht man aber davon aus, dass die Gewichtungsfunktion abhängig von einer reellwertigen Variable ist und das die Zeitfunktion > 0 ist. Das erleichtert die Rechnungen.

Die Z-Transformation ist nun quasi eine Laplace-Transformation für diskrete, also abgetastete Signale. Hier verallgemeinert man das zu lösende Integral auf eine Kammfunktion, die mit dem Signal multipliziert. Also eine unendliche Reihe von gleichabständigen Dirac-Impulse.
Diese haben die lustige Eigenschaft, dass wenn man sie mit einer kontinuierlichen Funktion multipliziert, die Funktion nur noch an diesen Stellen existiert. Man hat also nun eine Zahlenfolge und wertet diese aus.
Hier steht dann nicht mehr die Funktion mit der Gewichtung in einem Integral, sondern Abtastwerte mit Gewichtung in einer Summenformel. Die Gewichtung ist dann die Variable "z".
Die komplexe Frequenzfunktion wird hier auf einem Kreis in der komplexen Ebene abgebildet. Bei der zeitdiskreten Fourier-Transformation (nicht die DFT) rotiert die komplexwertige Frequenzfunktion auf dem Einheitskreis.

Hier lässt sich auch schon ein Bezug zu Übertragungsfunktionen und überhaupt zur Systemtheorie herstellen, das gehört dann aber eher zur Berechnung von Filtern. Ich werde es in diesem Rahmen also bei kleinen Beispielen belassen..

Die Z-Transformierte eines Signals ist sogar relativ billig zu haben, aber nachher mehr dazu. Ich geh jetzt erstmal schlafen...


Nachtrag 6. Juni 2012:

Mit den Gewichtungsfunktionen meinte ich den Integralkern. Die Bezeichnung war mir nicht geläufig. Genau diese Integralkerne unterscheiden die versch. Transformationen. Systeme und ihre Beschreibungen werde ich demnächst (Semesterferien stehen vor der Tür) in einem anderen Thread nochmal einführen.
Zuletzt geändert von Rampensau am Mi 6. Jun 2012, 12:01, insgesamt 3-mal geändert.
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Re: Transformationen

Beitragvon herw » So 26. Feb 2012, 08:24

Rampensau hat geschrieben:Die Z-Transformation eigne ich mir gerade in Eigeninitiative an. In den Klausuren, die ich demnächst schreibe, Signalübertragung ist ein Fach davon, wird (leider) nichts von dem gefordert. Also hatte ich im Zuge des Studierens bisher auch keine Lesung zur Z-Transformation genossen. Weil ich mich auch vorbereitet für die Prüfungen fühlen möchte, habe ich wenig zur Zeit für Sachen außerhalb des Lernplans..

Nicht desto trotz können wir ja kurz mal der Z-Transformation zu mindest zuwinken... :wink:


Um das Wesen der Z-Transformation zu verstehen, ist es günstig, auch den "Ursprung" derselbigen zu kennen. Das werden wir uns alles aber später vielleicht (?) im Zuge der Oszillatoren anschauen, indem wir uns erstmal die Fourier-Analyse anschauen und die Fourierkoeffizienten herleiten und an einigen Beispielen nachvollziehen. Mit der Fourier-Analyse lassen sich die Amplituden und Phasenwinkel der einzelnen sinuförmigen Bestandteile, sowie der Gleichspannungsanteil eines hier periodischen Signals herausfinden. Das Spektrum ist diskret und positiv. Der Gleichspannungsanteil ist der Anteil mit Frequenz 0.
Schließlich gehen wir dann mit Reaktor :D auf den diskreten Fall über und berechnen die Koeffizienten einer Wellenform. Was auch ein Selbstexperiment war, da wir in der Lesung nur den stetigen Fall betrachtet haben.
Hier kommt man auch noch ganz gut im reellen Bereich zurecht. Die komplexwertige Anaylse resultiert in einem Spektrum über die gesamte reelle Achse, ist spiegelsymmetrisch zur y-Achse und halb so "hoch" wie die Einhüllende der reellwertigen Koeffizienten.

Den Grenzfall der komplexwertigen Fourier-Analyse bildet dann die Fourier-Transformation und gilt auch für nicht periodische Funktion. Das Resultat ist die spektrale Dichte des Signals oder der Funktion oder einer Börsenbilanz :mrgreen: . Die Frequenzfunktion oder Bildfunktion wird hier abhängig von der Symmetrie des Signals über die gesamte imaginäre und/ oder reelle Achse abgetragen. Die reell und imaginären Anteile werden auf den entsprechenden Achsen aufgetragen, wenn sie gerade sind. Wenn sie ungerade sind, ist das Spektrum der reellen Zeitfunktion imaginär und das Spektrum der imaginären Zeitfunktion reell.
Bei der Berechnung kann man sich also mit komplexen Zahlen rumschlagen, schwierige Integrale lösen oder auch die Eigenschaften der Transformationen ausnutzen. Formal geht das meist.

Bei der Laplace-Transformation kann die Frequenzfunktion komplexwertig sein und die Gewichtungsfunktion im Integral erstrecken sich über die gesamte komplexe Ebene. Die Frequenz der Gewichtungsfunktion bei der Fourier-Tranformation ist rein imaginär. In der Anwendung geht man aber davon aus, dass die Gewichtungsfunktion abhängig von einer reellwertigen Variable ist und das die Zeitfunktion > 0 ist. Das erleichtert die Rechnungen.

Die Z-Transformation ist nun quasi eine Laplace-Transformation für diskrete, also abgetastete Signale. Hier verallgemeinert man das zu lösende Integral auf eine Kammfunktion, die mit dem Signal multipliziert. Also eine unendliche Reihe von gleichabständigen Dirac-Impulse.
Diese haben die lustige Eigenschaft, dass wenn man sie mit einer kontinuierlichen Funktion multipliziert, die Funktion nur noch an diesen Stellen existiert. Man hat also nun eine Zahlenfolge und wertet diese aus.
Hier steht dann nicht mehr die Funktion mit der Gewichtung in einem Integral, sondern Abtastwerte mit Gewichtung in einer Summenformel. Die Gewichtung ist dann die Variable "z".
Die komplexe Frequenzfunktion wird hier auf einem Kreis in der komplexen Ebene abgebildet. Bei der zeitdiskreten Fourier-Transformation (nicht die DFT) rotiert die komplexwertige Frequenzfunktion auf dem Einheitskreis.

Hier lässt sich auch schon ein Bezug zu Übertragungsfunktionen und überhaupt zur Systemtheorie herstellen, das gehört dann aber eher zur Berechnung von Filtern. Ich werde es in diesem Rahmen also bei kleinen Beispielen belassen..

Die Z-Transformierte eines Signals ist sogar relativ billig zu haben, aber nachher mehr dazu. Ich geh jetzt erstmal schlafen...

Ich ergänze mal einige Literaturstellen zum Verständnis der Fachbegriffe. Nicht abschrecken lassen, sondern immer nur die allgemeinen Einführungssätze lesen und eventuell die Bildchen anschauen!

Z-Transformation
Fourier-Analyse
Fourier-Koeffizienten, Fourier-Reihe
Frequenzgang, Amplituden und Phasenwinkel
diskretes Spektrum
komplexe Zahl
imaginäre Zahl
Zeitfunktion zusammenfassender Artikel !
Frequenzfunktion, Frequenzgang
Gewichtungsfunktion (weight function) ? aus dem Englischen „übersetzt”
Fourier-Tranformation
Laplace-Transformation
Kammfunktion, Diracsche Deltafunktion
Dirac-Impulse, Delta-Distribution

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Dirac-Stoß

Beitragvon Rampensau » So 26. Feb 2012, 14:02

herw hat geschrieben:[...]

Ich ergänze mal einige Literaturstellen zum Verständnis der Fachbegriffe. Nicht abschrecken lassen, sondern immer nur die allgemeinen Einführungssätze lesen und eventuell die Bildchen anschauen!

[...]


Ja genau.. Wikipedia ist immer sehr erschlagend mit Definitionen und gaukelt viele Sachen als ziemlich kompliziert vor.
Wir werden gleich sehen, dass der Dirac-Impuls für uns zunächst ein ganz einfaches formales Mittel zur mathematischen Modellierung des Samplingvorgangs ist.
Später wird er bei der Generation von bandlimitierten Impulsen ein Vorbild sein und viel später bei der Berechnung von Systemreaktionen eine Rolle spielen.
Auch zum besseren Verständnis der Z-Transformierten eines Signals schauen wir ihn uns mal aus der Nähe an.

In der Signalverarbeitung ist der Diracstoß also ein unverzichtbares Mittel, daher lohnt sich ein kurzer Überblick schon...

Der Dirac-Stoß (oder -Impuls) ist keine gewöhnliche Funktion. Sie ist eine sogenannte Distribution, also eine Erweiterung des Funktionsbegriffs.
Der Dirac-Impuls ist gleich 0 für alle x-Werte bis auf (zunächst) x=0. An der Stelle x=0 ist der Funktionswert unendlich. Der Dirac-Stoß ist also unendlich hoch und unendlich schmal und besitzt aber den Flächeninhalt 1.
Man kann ihn als Grenzfall eines Rechteckimpulses mit der Höhe {1/ epsilon} und der Breite {epsilon}, also mit dem Flächeninhalt 1 auffassen.
Dirac.png
Dirac.png (20.21 KiB) 6376-mal betrachtet


Betrachten wir einmal:
Fläche.PNG
Fläche.PNG (23.2 KiB) 6377-mal betrachtet

Um die Fläche im Grenzfall (1) berechnen zu können, muss man auch dessen Grenzwert (2) bilden . Da ein unbestimmter Ausdruck auftaucht "0 / 0", werden Nenner und Zähler getrennt nach epsilon abgeleitet und dann wird der Grenzwert gebildet. Das besagt die Regel von l'Hospital.
Der Flächeninhalt (1)(hier: Breite * Höhe = epsilon * (1 / epsilon)) ist in seiner Natur ein uneigentliches Integral über der gesamten Funktion und ist quasi die "Aufleitung" der Funktion. (3)
Zur Bestimmung von Integralen in der Handrechnung gibt es verschiedene Techniken. Im Allgemeinen nähert man durch Reihendarstellung oder numerische Integration (Bsp. Streifenmethode) an. Genau so (Streifenmethode = Rectangular Sum Method) löst auch der Integrator in Core die Integrale.
Aus (3) folgt direkt die Ausblendeigenschaft, die beim Sampling, also auch bei der Herleitung der Z-Transformation von großer Bedeutung ist. Die Ausblendeigenschaft besagt hier (4)(später verallgemeinern wir), dass im Produkt mit dem Diracstoß alle Funktionswerte, außer dem an der Stelle t = 0 ausgeblendet werden. Aus der Integration (5) resultiert nur noch der Funktionswert. => Ein Sample an der Stelle 0. Das erste Sample bspw. aus einer Sinustabelle, wenn man so will..

Den Dirac-Stoß kann man auch als Ableitung an einer Sprungstelle auffassen, wie wir gleich sehen werden.[...]
Zuletzt geändert von Rampensau am So 26. Feb 2012, 20:18, insgesamt 9-mal geändert.
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Re: Dirac-Stoß

Beitragvon herw » So 26. Feb 2012, 15:39

Rampensau hat geschrieben:[...]
Um die Fläche im Grenzfall berechnen zu können, muss man auch dessen Grenzwert bilden. Da ein unbestimmter Ausdruck auftaucht "0 / 0", werden Nenner und Zähler getrennt nach epsilon abgeleitet und dann wird der Grenzwert gebildet.
Das besagt die Regel von l'Hospital.
[...]
Ich denke nicht, dass man deshalb die „Krankenhaus”-Regel anwenden muss:
da der Flächeninhalt per Defintion 1 beträgt, ist der Grenzwert einfach eine stetige Ergänzung:
stetige Ergänzung.jpg
stetige Ergänzung.jpg (13.93 KiB) 6395-mal betrachtet

Am Ergebnis ändert es selbstverständlich nichts.

ciao herw
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Re: Dirac-Stoß

Beitragvon Rampensau » So 26. Feb 2012, 15:48

herw hat geschrieben:
Rampensau hat geschrieben:[...]
Um die Fläche im Grenzfall berechnen zu können, muss man auch dessen Grenzwert bilden. Da ein unbestimmter Ausdruck auftaucht "0 / 0", werden Nenner und Zähler getrennt nach epsilon abgeleitet und dann wird der Grenzwert gebildet.
Das besagt die Regel von l'Hospital.
[...]
Ich denke nicht, dass man deshalb die „Krankenhaus”-Regel anwenden muss:
da der Flächeninhalt per Defintion 1 beträgt, ist der Grenzwert einfach eine stetige Ergänzung:
stetige Ergänzung.jpg

Am Ergebnis ändert es selbstverständlich nichts.

ciao herw

Die Krankenhausregel braucht man hier nicht unbedingt. Man kann ja epsilon vor der Grenzwertbildung schon rauskürzen. Stimmt. ><:
Aber warum einfach, wenns auch schwer geht.. hihi
Aber die Definition des Diracstoßes erfolgt ja erst aus dieser Grenzwert-Überlegung und das war mir eigentlich wichtig...
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Vom Diracstoß zur Sprungfunktion

Beitragvon Rampensau » So 26. Feb 2012, 20:00

Betrachten wir erneut die Integration des Diractoßes, aber in Abhängigkeit von t. Die entstehende Flächeninhaltsfunktion hat von -Unendlich bis zur Stelle t = 0 den Funktionswert 0. Von da an geht der Dirac-Impuls in das Integral ein und lässt den Flächeninhaltsfunktionswert auf 1 springen. Da der Diracstoß für t > 0 keine anderen Funktionswerte als die 0 annimmt, bleibt auch der Flächeninhalt von dort an 1.
sigma(t).png
sigma(t).png (7.33 KiB) 6323-mal betrachtet

Wenn nun die Sprungfunktion das Integral des Diracstoßes ist, muss der Diracstoß eben die Ableitung der Sprungfunktion sein, obwohl sie in t = 0 eine Sprungstelle aufweist, also unstetig ist. Was ja im herkömmlichen Sinne der Funktion nicht differenzierbar ist. Im distributiven Sinne kann man diese Stellen nun ableiten. Im herkömmlichen Sinne ist auch der Wert bei t = 0 der Mittelwert der links- und rechtsseitigen Grenzwerte. Im distributiven Sinne muss er im Bezug auf den Diracstoß aber 1 sein.
Sprungfunktion.png
Sprungfunktion.png (21.61 KiB) 6313-mal betrachtet

Diese Beziehungen werden später bei der Generierung von nicht aliasierenden Wellenformen aus einer bandlimitierten Impulsfolge eine Bedeutung haben.
BLIT.PNG
BLIT.PNG (20.66 KiB) 6322-mal betrachtet
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Re: Vom Diracstoß zur Sprungfunktion

Beitragvon herw » Mo 27. Feb 2012, 06:18

Rampensau hat geschrieben:[...]
Diese Beziehungen werden später bei der Generierung von nicht aliasierenden Wellenformen aus einer bandlimitierten Impulsfolge eine Bedeutung haben.
[...]
Was heißt eigentlich in diesem Zusammenhang bandlimitiert ? (oder kommt das noch)

ciao herw
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